こんにちは. 2022年度ラーニングサポート木曜日担当の修士2年の程島 [ホドシマ] です. 1年間よろしくお願いします.
今回は初回なので, 自己紹介をしたいと思います.
プロフィール
- 学年: 修士2年生
- 学科: 数理科学科
- 所属: 勝良研究室
- 趣味
- 競技プログラミング: 現在, AtCoder (Algorithm部門) では黄色レートになっています (2022年06月09日現在). この黄色レートというのは上位3%に入ります. ですが, まだまだ勉強中です.
- 坂道シリーズの応援 (特に, 櫻坂46). 最近だと, 卒業コンサートの2日目に行きました.
研究について
私が所属している研究室では主に $C^*$ 環というものについて研究しています.
$C^*$ とは, 行列の概念を拡張させたものになります.
行列には次のような演算が備わっています.
- 行列同士の和,差 $$\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix} a_{11} \pm b_{11} & \cdots & a_{1n} \pm b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} \pm b_{m1} & \cdots & a_{mn} \pm b_{mn} \end{pmatrix}$$
- 行列同士のスカラー倍 $$\lambda \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \cdots & \lambda a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{m1} & \cdots & \lambda a_{mn} \end{pmatrix}$$
- 行列同士の積 $$\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1p} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{np} \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix} \sum_{k=1}^n a_{1k}b_{k1} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{1k}b_{kp} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{k=1}^p a_{nk}b_{kp} & \cdots & \sum_{k=1}^n a_{nk}b_{kp} \end{pmatrix}$$
- 行列の共役転置 $$\lambda \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}^*:= \begin{pmatrix} \overline{a_{11}} & \cdots & \overline{a_{m1}} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \overline{a_{1n}} & \cdots & \overline{a_{nm}} \end{pmatrix}$$
このような演算たちから次のような概念などが登場します.
- 固有値
- 正則行列, 逆行列
- 正規行列, 射影行列
- トレース
これらの概念をもっと広い世界から見てみようというのが $C^*$ 環の動機になります.
最後に
理工学のどの分野においても数学の知識はどこかしらで必要不可欠になっていきます. もしわからないことが出てきたときには是非ラーニングサポートに相談してみてください.
